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人教版九年级数学《垂直于弦的直径》 主讲:杨晓娜
标签:数学       发布时间:2014-07-08

教学目标

知识技能:

1、探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质;

2、能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.

数学思考:

在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生感受圆的对称性,经历探索圆的对称性及相关性质的过程.

解决问题:

1、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法;

2、培养学生独立探索,相互合作交流的精神.

情感态度:使学生得到爱国主义教育和美育渗透,同时使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养积极参与的积极性.

重 点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.

难 点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.

教学准备:多媒体课件(PPT) 圆规 三角板 圆纸片

学生准备:圆纸片 圆规 直尺

教学过程

一、创设问题情境,引出本节内容。

:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?

二、新课精讲:

活动1:操作:

用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?

学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,)由此可以发现:

圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴

活动二:操作:如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E,

思考:(1)如图是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?为什么?

(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?

学生操作、分析、归纳的基础上,引导学生归纳出:

垂径定理:垂直于弦直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

① ② ③ ④ ⑤

几何语言表达为:

∵CD是直径,CD⊥AB

∴AE=BE,

弧AC=弧BC,弧AD=弧BD

设计游戏:将垂径定理中的5个

关系编号写在五张完全相同的卡片上,四人小组每组从中任抽两张作为题设,探究能否得到其余3个结论。

活动三:任作一条弦AB,过AB的中点E做直径OE,交圆与C、D两点,这个图形还是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?如果不是请说明理由。

推论:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

③ ② ① ④ ⑤

几何语言表达为:

∵CD是直径,AE=BE,AB不是直径

∴CD⊥AB,

弧AC=弧BC,弧AD=弧BD

活动四(智力抢答)

1、判断下列说法的正误:

①平分弧的直径必平分弧所对的弦( )

②平分弦的直线必垂直弦( )

③垂直于弦的直径平分这条弦( )

④平分弦的直径垂直于这条弦( )

⑤弦的垂直平分线是圆的直径( )

⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( )

⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧( )

1、在⊙O中,OC垂直于弦AB,AB = 8,OA = 5,则AC = ,

OC = 。

2、在⊙O中,C为AB上一动点,OC最长为 5,最短为3,则弦AB= 。

活动五:(解决情境问题)

解:如图,用弧AB表示主桥拱,

设弧AB所在圆的圆心为O,半径

为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,

D为垂足,OC与AB 相交于点D,

根据前面的结论,D 是AB 的中点,

C是弧AB的中点,CD 就是拱高。在图中.AB=37.4,CD=7.2,AD=18.7,

OD=OC-CD=R-7.2

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2=AD2+OD2

即 R2=18.72+(R-7.2)2

解得:R≈27.9(m)

∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

学生解决问题的基础上引导学生进行归纳:

(1)过圆心作弦的垂线是一种常见的辅助线做法;

(2)弦长的一半、半径、弦心距(圆心到弦的距离)构成直角三角形的三边,可根据勾股定理建立等量关系,求得问题的结果。

三、解决问题

著作《九章算术》中的一个问题:”今有圆材,

埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯道长一 尺,

问径几何?题目用现在的数学语言表达是:

如图CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,

求直径CD的长。

四、小结收获:

(1)关键是找到由圆的半径,弦长的一半弦心距构成的直角三角形;

(2)根据勾股定理:

(圆的半径)2=(弦长的一半)2+(弦心距)2

五、作业:

1、教材88页习题24.1(9、10) ;

2、(将游戏进行到底)将垂径定理中的任意两个关系为条件,其它三个关系为结论共有多少种情况?并尝试用圆的轴对称性加以说明,进一步体会圆的对称美。